Seštevanje, odštevanje in množenje matrik
Seštevanje, odštevanje in množenje matrik so osnovne operacije, ki omogočajo obdelavo podatkov in reševanje matematičnih problemov. Pri seštevanju ali odštevanju morajo matrike imeti enake dimenzije, medtem ko je pri množenju pogoj, da število stolpcev prve matrike ustreza številu vrstic druge.
Na primer:
Če ima matrika $A$ dimenzije $2 \times 3$ in matrika $B$ dimenzije $3 \times 2$, je množenje možno. Rezultat bo matrika z dimenzijami $2 \times 2$.
Seštevanje matrik
Seštevanje matrik izvedemo tako, da seštejemo ustrezne elemente dveh matrik. Matriki morata imeti enake dimenzije ($m \times n$), sicer seštevanje ni mogoče. Rezultat je matrika enakih dimenzij.
Če sta dani matriki:
$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}$
$B = \begin{pmatrix}7 & 8 & 9\\ 10 & 11 & 12\end{pmatrix}$
Izračunamo vsoto matrik:
$A + B = \begin{pmatrix}1+7 & 2+8 & 3+9\\ 4+10 & 5+11 & 6+12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 & 10 & 12\\ 14 & 16 & 18\end{pmatrix}$
Rezultat:
$C = \begin{pmatrix}8 & 10 & 12\\ 14 & 16 & 18\end{pmatrix}$
Odštevanje matrik
Odštevanje matrik poteka podobno kot seštevanje: odštejemo ustrezne elemente dveh matrik. Tudi tukaj morata imeti matriki enake dimenzije ($m \times n$). Če dimenzije niso enake, odštevanje ni dovoljeno.
Če sta dani matriki:
$A = \begin{pmatrix}5 & 6 & 7\\ 8 & 9 & 10\end{pmatrix}$
$B = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}$
Izračunamo razliko matrik:
$A – B = \begin{pmatrix}5-1 & 6-2 & 7-3\\ 8-4 & 9-5 & 10-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 4 & 4\\ 4 & 4 & 4\end{pmatrix}$
Rezultat:
$C = \begin{pmatrix}4 & 4 & 4\\ 4 & 4 & 4\end{pmatrix}$
Množenje matrik ali matrični produkt
Če želimo matrike množiti, mora število stolpcev prve matrike ustrezati številu vrstic druge matrike. Če ima matrika $A$ dimenzije $m \times n$ in matrika $B$ dimenzije $n \times p$, bo matrika rezultatov $C$ dimenzij $m \times p$. Če teh pogojev ne izpolnimo, ne smemo množiti.
Dimenzije matričnega produkta
Dimenzije matričnega produkta določimo glede na število vrstic prve matrike in število stolpcev druge matrike. Na primer, če ima matrika $A$ dimenzije $2 \times 3$ in matrika $B$ dimenzije $3 \times 4$, bo matrika rezultatov $C$ dimenzij $2 \times 4$.
Formula za izračun elementov
Če želimo izračunati matrični produkt, uporabimo formulo:
$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj}$
Na primer, če sta matriki:
$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}$
$B = \begin{pmatrix}7 & 8\\ 9 & 10\\ 11 & 12\end{pmatrix}$
Element v prvi vrstici in prvem stolpcu matrike $C$ izračunamo takole:
$c_{11} = (1 \cdot 7) + (2 \cdot 9) + (3 \cdot 11) = 7 + 18 + 33 = 58$
Končna matrika rezultatov je:
$C = \begin{pmatrix}58 & 64\\ 139 & 154\end{pmatrix}$
Dodatni primer za množenje matrik
Če ima matrika $A$ dimenzije $1 \times 3$:
$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix}$
in matrika $B$ dimenzije $3 \times 1$:
$B = \begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix}$
Rezultat množenja je matrika rezultatov z dimenzijami $1 \times 1$:
$c = (1 \cdot 4) + (2 \cdot 5) + (3 \cdot 6) = 4 + 10 + 18 = 32$
Rezultat:
$C = \begin{pmatrix}32\end{pmatrix}$
Primer množenja matrik
Za primer množimo matriki $A$ in $B$ z ustreznimi dimenzijami:
$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}7 & 8\\ 9 & 10\\ 11 & 12\end{pmatrix}$
Matrika $A$ ima dimenzije $2 \times 3$, matrika $B$ pa $3 \times 2$. Rezultat množenja je matrika $C$ dimenzij $2 \times 2$. Elemente matrike $C$ izračunamo tako, da vrstico matrike $A$ pomnožimo s stolpcem matrike $B$ in seštejemo produkte.
Izračun elementov matrike rezultatov:
- $c_{11} = (1 \cdot 7) + (2 \cdot 9) + (3 \cdot 11) = 7 + 18 + 33 = 58$
- $c_{12} = (1 \cdot 8) + (2 \cdot 10) + (3 \cdot 12) = 8 + 20 + 36 = 64$
- $c_{21} = (4 \cdot 7) + (5 \cdot 9) + (6 \cdot 11) = 28 + 45 + 66 = 139$
- $c_{22} = (4 \cdot 8) + (5 \cdot 10) + (6 \cdot 12) = 32 + 50 + 72 = 154$
Matrični produkt je:
$C = \begin{pmatrix}58 & 64\\ 139 & 154\end{pmatrix}$
Lastnosti matričnega produkta
Množenje matrik ima lastnosti, kot so asociativnost, distributivnost in komutativnost. Te lastnosti omogočajo učinkovito reševanje matematičnih problemov in obdelavo podatkov.
1. Asociativnost
Množenje matrik je asociativno, kar pomeni:
$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$
Množimo lahko kateri koli par matrik, pri čemer se končni rezultat ne spremeni.
Na primer:
Če je $A = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}2 & 3\\ 4 & 5\end{pmatrix}$ in $C = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$
Velja:
$((A \cdot B) \cdot C) = (A \cdot (B \cdot C))$
2. Distributivnost
Množenje matrik je distributivno glede na seštevanje:
$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$
Z množenjem matrike z vsoto lahko posamezne dele obravnavamo ločeno, kar poenostavi računanje.
3. Komutativnost
Matrike običajno niso komutativne, kar pomeni:
$A \cdot B \neq B \cdot A$
Na primer:
Če je $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ in $B = \begin{pmatrix}2 & 0\\ 1 & 2\end{pmatrix}$
Velja:
$A \cdot B \neq B \cdot A$.
Komutativnost velja le v redkih primerih, kot so diagonalne matrike ali enotska matrika.
4. Enotska matrika
Enotska matrika $I$ ima lastnost:
$A \cdot I = I \cdot A = A$
Enotska matrika pri množenju ne spremeni matrike.
Če je $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ in $I = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Potem velja:
$A \cdot I = A$ in $I \cdot A = A$.
Množenje matrik v praksi
Množenje matrik se uporablja pri številnih matematičnih in znanstvenih nalogah, od reševanja enačb do obdelave podatkov in modeliranja.
Linearne preslikave
Matrike opisujejo transformacije, kot so vrtenje, raztezanje ali premikanje objektov. Na primer, transformacija vektorja $v$ z matriko $T$ izračunamo kot $T \cdot v$, kar omogoča analizo prostorskih odnosov.
Sistem linearnih enačb
Sistem linearnih enačb lahko rešimo z uporabo matrik. Na primer:
$ \begin{aligned} 2x + y &= 5 \\ x-3y &= -1 \end{aligned} $
Zapišemo v obliki matrike:
$A = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & -3\end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}5\\ -1\end{pmatrix}$
Rešitev dobimo z izračunom vektorja $x$, kjer je $A \cdot x = b$.
Uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili seštevanje, odštevanje in množenje matrik. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj. Povezave najdete spodaj 👇
Množenje matrik in druge operacije: vaje z rešitvami
1. Poiščite vsoto $A + B$ in razliko $A – B$ matrik $A$ in $B$:
2. Poiščite produkt $A \cdot B$ in $B \cdot A$ matrik $A$ in $B$:
Druge matematične vaje matrike
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti seštevanje in množenje matrik, hitro poiščite “inštruktor matematike Celje” ali “inštrukcije matematike Maribor”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.