Kaj so sistemi linearnih enačb
Sistem linearnih enačb je niz enačb z več neznankami, kjer so vse neznanke v prvi stopnji. Enačbe so zapisane v obliki:
$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$
$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$
$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$
Cilj je najti vrednosti neznank, ki hkrati izpolnjujejo vse enačbe v sistemu.
Primer sistema s tremi enačbami:
$ x + 2y – z = 4 $
$ 2x + y + 3z = 7 $
$ -x + 3y + 2z = 1 $
Predstavitev sistema treh enačb z matriko
Sistem linearnih enačb lahko učinkovito predstavimo s pomočjo razširjene matrike. V matriki zapisujemo koeficiente pred neznankami in konstante na desni strani enačb.
Razširjena matrika za zgornji sistem enačb:
$\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 4 \\
2 & 1 & 3 & 7 \\
-1 & 3 & 2 & 1
\end{array}\right]$
Vsaka vrstica v matriki predstavlja eno enačbo:
- Prva vrstica: koeficienti $x$, $y$, $z$ so $1$, $2$, $-1$, desna stran enačbe je $4$.
- Druga vrstica: koeficienti $2$, $1$, $3$, desna stran je $7$.
- Tretja vrstica: koeficienti $-1$, $3$, $2$, desna stran je $1$.
Stolpci matrike so razporejeni glede na neznanke: prvi stolpec za $x$, drugi za $y$, tretji za $z$, zadnji stolpec pa prikazuje vrednosti na desni strani enačb.
Gaussova eliminacija: uvod
Pomen Gaussove eliminacije pri reševanju linearnih enačb
Gaussova eliminacija je metoda, s katero preoblikujemo sistem linearnih enačb v zgornjo trikotno matriko. Postopek izvajamo z vrstičnimi operacijami, ki nam omogočajo, da sistem rešimo enostavneje in pregledneje.
Gaussova metoda je sinonim za ta postopek. Uporabljamo zamenjave vrstic, množenje vrstic s konstantami in odštevanje vrstic, da odstranimo elemente pod pivotom in dosežemo želeno obliko matrike.
Glavni koraki Gaussove eliminacije
1. Poiščemo pivot:
V trenutnem stolpcu matrike poiščemo največji absolutni element, ki ga imenujemo pivot. Če pivot ni primeren (na primer, če je enak nič), zamenjamo vrstico, da lahko nadaljujemo postopek. Pivot uporabimo za odpravo elementov pod njim.
2. Odstranimo elemente pod pivotom:
Za vsak element pod pivotom izvedemo vrstične operacije. Vrstico s pivotom pomnožimo s faktorjem in jo odštejemo od vsake spodnje vrstice, da elemente v stolpcu pod pivotom spremenimo v nič.
Primer transformacije matrike
Začetna matrika:
$\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 4 \\
2 & 1 & 3 & 7 \\
-1 & 3 & 2 & 1
\end{array}\right]$
Po odstranitvi elementov v prvem stolpcu:
$\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 4 \\
0 & -3 & 5 & -1 \\
0 & 5 & 1 & 5
\end{array}\right]$
Z nadaljevanjem postopka dosežemo zgornjo trikotno matriko:
$\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 4 \\
0 & 1 & -\frac{5}{3} & \frac{1}{3} \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right]$
Ko matriko preoblikujemo v zgornjo trikotno obliko, začnemo reševati enačbe od spodaj navzgor:
- Iz tretje vrstice izračunamo $z = 2$
- V drugo vrstico vstavimo $z$ in izračunamo $y$
- V prvo vrstico nato vstavimo $y$ in $z$ ter izračunamo $x$
Reševanje linearnih enačb: Gaussova metoda
Elementarne vrstične operacije
Gaussova metoda uporablja tri osnovne vrstične operacije, s katerimi preoblikujemo matriko:
1. Zamenjava vrstic:
Če pivot v trenutnem stolpcu ni ustrezen (na primer, če je enak nič), zamenjamo vrstici, da ustrezen pivot postavimo na pravo mesto.
Primer: Če v prvi vrstici ni primernega pivota, zamenjamo vrstico $R_1$ z vrstico $R_2$.
2. Množenje vrstice s konstantnim faktorjem:
Če želimo prilagoditi vrednost pivota ali koeficientov v vrstici, vrstico pomnožimo s konstantnim faktorjem, ki ni enak nič.
Primer: Če pivot v prvi vrstici ni $1$, vrstico $R_1$ pomnožimo z $\frac{1}{2}$, da pivot postane $1$.
3. Odštevanje vrstic:
Če želimo odstraniti elemente pod pivotom, uporabimo vrstico s pivotom. Od spodnjih vrstic odštejemo ustrezni del pivota.
Primer: Da odstranimo element v drugem stolpcu, izvedemo $R_2 \gets R_2-2R_1$
Transformacija matrike v zgornjo trikotno obliko
Pri preoblikovanju matrike sledimo sistematičnemu zaporedju korakov:
1. Izberemo pivot: Poiščemo največji absolutni element v trenutnem stolpcu. Če pivot ni na pravem mestu, zamenjamo vrstici.
Primer: Če je največji element v vrstici $R_2$, izvedemo $R_1 \leftrightarrow R_2$
2. Odpravimo elemente pod pivotom: Vrstico s pivotom uporabimo za odstranjevanje elementov v stolpcu pod pivotom.
Primer: Če pivot v prvem stolpcu znaša $1$, izvedemo $R_2 \gets R_2-2R_1$
3. Ponovimo postopek za naslednje stolpce: Preidemo na naslednji stolpec in ponovimo enake korake, dokler ne dosežemo zgornje trikotne oblike.
Praktični primer preoblikovanja matrike v zgornjo trikotno obliko
Začetna matrika:
$\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 4 \\
2 & 1 & 3 & 7 \\
-1 & 3 & 2 & 1
\end{array}\right]$
Po odstranitvi elementov pod pivotom v prvem stolpcu:
$\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 4 \\
0 & -3 & 5 & -1 \\
0 & 5 & 1 & 5
\end{array}\right]$
Po nadaljnjih korakih dosežemo zgornjo trikotno matriko:
$\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -1 & 4 \\
0 & 1 & -\frac{5}{3} & \frac{1}{3} \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{array}\right]$
S to obliko lahko sistem rešimo z reševanjem enačb od zadnje vrstice proti prvi.
Posebni primeri sistemov linearnih enačb
Sistemi brez rešitev
Sistem linearnih enačb nima rešitev, kadar so enačbe neskladne. To pomeni, da se premice ali ravnine, ki jih predstavljajo enačbe, ne sekajo.
Primer neskladnega sistema:
$ x + y = 2 $
$ x + y = 5 $
V razširjeni matriki to pomeni, da dobimo vrstico oblike:
$ \left[\begin{array}{cc|c} 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] $
Ker zadnji stolpec vsebuje vrednost, ki ne more biti enaka levi strani, sistem nima rešitev.
Sistemi z neskončno mnogimi rešitvami
Sistem vsebuje neskončno rešitev, kadar enačbe opisujejo enake premice ali ravnine, ali pa enačbe med seboj niso neodvisne.
Razlaga posebnih pogojev matrike:
Če matrika vsebuje vrstico, kjer so vsi elementi, vključno s konstantami, enaki nič, ima sistem neskončno mnogo rešitev. Na primer:
$ \left[\begin{array}{cc|c} 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right] $
V tem primeru sistem ni omejen na eno samo rešitev, ampak lahko določimo rešitev z uporabo prostih spremenljivk.
Sistemi z unikatno rešitvijo
Sistem ima enolično rešitev, kadar ima razširjena matrika zgornjo trikotno obliko brez posebnih vrstic (kot v prejšnjih primerih). To pomeni, da za vsak stolpec obstaja natanko ena določena vrednost za neznanko.
Primer sistema z unikatno rešitvijo:
Po Gaussovi eliminaciji dobimo matriko oblike:
$ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right] $
Rešitve so: $ x = 3, \quad y = 2, \quad z = -1 $
Uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili, kako rešujemo sistem linearnih enačb z matriko in kaj je Gaussova metoda. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj. Povezave najdete spodaj 👇
Sistem linearnih enačb z matrikami: vaje z rešitvami
1. Z uporabo matrike rešite sistem treh linearnih enačb:
2. Z uporabo matrike rešite sistem štirih linearnih enačb:
Druge matematične vaje matrike
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti sistem linearnih enačb z matrikami, hitro poiščite “inštruktor matematike Celje” ali “inštrukcije matematike Maribor”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.