Inverzna matrika ali obrnljiva matrika
Inverzna matrika je matrika, ki pri množenju z izvirno matriko vrne enotsko matriko. Za kvadratno matriko $A$ velja:
$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I,$
kjer je $I$ enotska matrika.
Matrika je obrnljiva, če sta izpolnjena naslednja pogoja:
- Matriko $A$ je mogoče zapisati kot kvadratno matriko → $n \times n$
- Determinanta matrike ni enaka nič → $\det(A) \neq 0$
Inverzno matriko pogosto uporabljamo pri reševanju sistemov enačb in linearnih preslikavah. Izračunamo jih lahko z Gauss-Jordanovo metodo ali s formulo:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{adj}(A)$
Kako izračunamo inverzno matriko
Za izračun inverzne matrike uporabimo formulo:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{adj}(A)$
Determinanta matrike $\det(A)$ določa, ali je matrika obrnljiva. Če velja $\det(A) = 0$, matrika ni obrnljiva. Adjungirana matrika $\mathrm{adj}(A)$ je transponirana matrika, sestavljena iz kofaktorjev matrike $A$.
Obrnljiva matrika: praktičen primer
Izračunajmo inverzno matriko $A$, kjer je:
$A = \begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & 4\end{pmatrix}$
1. korak: izračunajmo determinanto
Najprej izračunajmo determinanto matrike $A$. Uporabimo formulo za determinanto kvadratne matrike reda $2 \times 2$:
$\det(A) = (2 \cdot 4) – (3 \cdot 1) = 8 – 3 = 5$
2. korak: poiščimo adjungirano matriko
Naslednji korak je izračun adjungirane matrike. To naredimo z izračunom kofaktorjev za vsako pozicijo:
$\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix}4 & -3\\ -1 & 2\end{pmatrix}$
3. korak: izračunajmo inverzno matriko
Za končni izračun uporabimo formulo:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{adj}(A)$
Izračunajmo:
$A^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix}4 & -3\\ -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{4}{5} & -\frac{3}{5}\\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{pmatrix}$
4. korak: končni rezultat
$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{4}{5} & -\frac{3}{5}\\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{pmatrix}$
Gauss-Jordanova eliminacija za inverzno matriko
Izračunajmo inverzno matriko $A$ z metodo Gauss-Jordanove eliminacije. Naj bo matrika $A$:
$A = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 4 \end{pmatrix}$
1. korak: pripravimo razširjeno matriko
Združimo matriko $A$ z enotsko matriko $I$ enakih dimenzij:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
2. korak: uporabimo elementarne vrstične operacije
Cilj je, da matriko $A$ spremenimo v enotsko matriko, medtem ko matrika $I$ postane inverzna matrika.
Prva vrstica: Delimo z 2, da dobimo $1$ v zgornjem levem kotu:
$\begin{pmatrix} 1 & 1.5 & 0.5 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Druga vrstica: Odštejemo prvo vrstico, pomnoženo z 1, od druge vrstice:
$\begin{pmatrix} 1 & 1.5 & 0.5 & 0\\ 0 & 2.5 & -0.5 & 1 \end{pmatrix}$
Druga vrstica: Delimo z 2.5, da dobimo $1$ na mestu $a_{22}$:
$\begin{pmatrix} 1 & 1.5 & 0.5 & 0\\ 0 & 1 & -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}$
Prva vrstica: Odštejemo drugo vrstico, pomnoženo s 1.5, od prve vrstice:
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.8 & -0.6\\ 0 & 1 & -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}$
3. korak: preverimo rezultat
Matrika $A$ je zdaj enotska, inverzna matrika pa je na mestu, kjer je bila prvotno matrika $I$:
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.8 & -0.6\\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}$
Z metodo Gauss-Jordanove eliminacije smo korak za korakom izračunali inverzno matriko. Metoda je uporabna tudi za matrike večjih dimenzij.
Lastnosti inverzne matrike
1. Unikatnost inverzne matrike
Vsaka obrnljiva matrika $A$ ima natančno eno inverzno matriko, ki jo označimo z $A^{-1}$.
2. Pogoji za obrnljivost
Matrika mora biti kvadratna ($n \times n$) in njena determinanta ne sme biti enaka $0$ ($\det(A) \neq 0$). Če teh pogojev ne izpolnimo, matrika ni obrnljiva.
3. Zakonitosti
- Produkt dveh matrik → $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
- Inverzna matrika inverzne matrike je izvirna matrika → $(A^{-1})^{-1} = A$
Z uporabo teh pravil lahko hitro rešimo sistem enačb.
Inverzna matrika pri reševanju sistemov enačb
1. Sistem enačb zapišimo v matrični obliki
Na primer:
$ 2x + y = 5 $
$ x-3y = -1 $
Matrika koeficientov in desni vektor sta:
$A = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & -3\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}5\\ -1\end{pmatrix}$
2. Poiščimo inverzno matriko
Izračunajmo $A^{-1}$ z metodo:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{adj}(A)$
3. Izračunajmo rešitev sistema enačb
Uporabimo rešitev $x = A^{-1} \cdot b$
Če je $A^{-1} = \begin{pmatrix}0.6 & 0.2\\ 0.2 & -0.4\end{pmatrix}$ in $b = \begin{pmatrix}5\\ -1\end{pmatrix}$, potem:
$x = \begin{pmatrix}0.6 & 0.2\\ 0.2 & -0.4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}$
Rezultat:
$x = 3$, $y = 2$
Razlika med obrnljivo in neobrnljivo matriko
Obrnljiva matrika ima določeno inverzno matriko, medtem ko neobrnljiva matrika te lastnosti nima. Ključni pogoj za obrnljivost je $\det(A) \neq 0$. Če je determinanta matrike enaka $0$, matrika ni obrnljiva.
Če je matrika $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}$,
Izračunamo: $\det(A) = (1 \cdot 4)-(2 \cdot 2) = 4-4 = 0$
Ker je $\det(A) = 0$, matrika $A$ ni obrnljiva.
Za preverjanje obrnljivosti ugotovimo, ali je matrika kvadratna in ali je determinanta različna od $0$. Obrnljive matrike omogočajo izračun inverza, kar je nepogrešljivo pri reševanju sistema enačb.
Uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili, kako rešujemo obrnljivo matriko ter kaj je Gauss-Jordanova eliminacija. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj. Povezave najdete spodaj 👇
Inverzna ali obrnljiva matrika: vaje z rešitvami
1. Poiščite inverzno matriko $A^{-1}$ matrike $A$:
Druge matematične vaje matrike
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti, kako se rešuje obrnljiva matrika, hitro poiščite “inštruktor matematike Celje” ali “inštrukcije matematike Maribor”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.