Rang matrike
Rang matrike predstavlja število linearno neodvisnih vrstic ali stolpcev matrike. Linearna neodvisnost pomeni, da nobena vrstica ali stolpec ne moreta biti izražena kot linearna kombinacija drugih.
Za matriko dimenzij $m \times n$ velja, da je rang matrike $r$ omejen z intervalom $0 \leq r \leq \min(m, n)$. Rang je torej največji red neničelne kvadratne poddeterminante, ki jo najdemo v matriki.
Na primer, za matriko:
$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$
je največja neničelna poddeterminanta reda $2$. Zato je rang matrike $r = 2$.
Rang matrike določa število linearno neodvisnih vrstic ali stolpcev, kar uporabimo pri analizi sistemov linearnih enačb in preverjanju, ali je matrika polna ali reducibilna.
Kako določimo rang matrike
1. Linearna neodvisnost
Za določanje ranga matrike preverjamo linearno neodvisnost njenih vrstic ali stolpcev. Vrsta ali stolpec je linearno neodvisen, če ga ne moremo zapisati kot linearno kombinacijo drugih vrstic ali stolpcev. Na primer, za matriko:
$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}$
je druga vrstica $2 \cdot \text{(prva vrstica)}$, tretja vrstica pa $3 \cdot \text{(prva vrstica)}$. Zato je rang te matrike $r = 1$.
2. Poddeterminanta
Druga metoda je iskanje največje neničelne kvadratne poddeterminante matrike. Če matrika $A$ vsebuje poddeterminanto reda $k$, ki ni enaka $0$, je rang matrike vsaj $k$. Za matriko:
$A = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$
Izračunamo determinanto:
$\det(A) = (1 \cdot 4) – (2 \cdot 3) = 4 – 6 = -2$
Ker $\det(A) \neq 0$, je rang matrike $r = 2$.
3. Ekvivalentne operacije
Z uporabo vrstičnih operacij, kot so zamenjava vrstic, množenje vrstice z neničelnim številom ali prištevanje večkratnika ene vrstice k drugi, lahko matriko poenostavimo in določimo njen rang. Matriko:
$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$
lahko z računskimi operacijami poenostavimo v matriko:
$A’ = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
Število neničelnih vrstic v $A’$ je $r = 2$, kar pomeni, da je rang matrike $A$ enak $2$.
Določimo rang matrike: primer
Določimo rang matrike $A$, kjer je:
$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1\\ 6 & 8 & 2\\ 4 & 12 & 3 \end{pmatrix}$
1. korak: preverimo dimenzije matrike
Matrika $A$ ima dimenzije $3 \times 3$, kar pomeni, da rang matrike ne more biti večji od $3$.
2. korak: poenostavimo matriko z vrstičnimi operacijami
Najprej prvo vrstico pomnožimo z $\frac{1}{2}$, da poenostavimo nadaljnje račune:
$A \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0.5\\ 6 & 8 & 2\\ 4 & 12 & 3 \end{pmatrix}$
Od druge vrstice odštejemo šestkratne vrednosti prve vrstice tako, da vsakemu elementu druge vrstice prištejemo ustrezen produkt elementov prve vrstice, pomnoženih z $-6$.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0.5\\ 6 & 8 & 2\\ 4 & 12 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0.5\\ 0 & -4 & -1\\ 4 & 12 & 3 \end{pmatrix}$
Od tretje vrstice odštejemo štirikratne vrednosti prve vrstice tako, da vsakemu elementu tretje vrstice prištejemo ustrezen produkt elementov prve vrstice, pomnoženih z $-4$.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0.5\\ 0 & -4 & -1\\ 4 & 12 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0.5\\ 0 & -4 & -1\\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix}$
3. korak: določimo rang matrike
Po vrstičnih operacijah so vse vrstice razen ene linearno neodvisne. Matrika ima dve neničelni vrstici.
Rezultat:
Rang matrike $A$ je $2$.
Lastnosti ranga matrike
1. Rang ničelne matrike
Ničelna matrika, kot je:
$A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
ima rang $0$, ker nobena vrstica ali stolpec ni linearno neodvisen.
2. Frobeniusova neenakost
Za matrike $A$, $B$ in $C$ velja:
$\mathrm{rank}(AB) + \mathrm{rank}(BC) \leq \mathrm{rank}(B) + \mathrm{rank}(ABC)$
Frobeniusova neenakost je uporabna za izračun ranga matričnega produkta.
3. Rang in vrstične operacije
Rang matrike se ne spremeni, če:
- zamenjamo dve vrstici ali stolpca,
- vrstico ali stolpec pomnožimo z neničelnim številom,
- vrstici ali stolpcu prištejemo poljubni večkratnik druge vrstice ali stolpca.
Rang matrike v praksi
Rang matrike uporabljamo pri reševanju sistemov linearnih enačb, analizi podatkov in matematičnem modeliranju. Pomaga ugotoviti, ali je sistem enačb rešljiv, ter določa število rešitev.
- Reševanje sistemov enačb
Sistem $A \cdot x = b$ je rešljiv, če rang matrike koeficientov $A$ ustreza rangu razširjene matrike $[A \ | \ b]$. Če sta oba ranga enaka številu neodvisnih spremenljivk, ima sistem eno rešitev. Če se ranga razlikujeta, sistem nima rešitve. - Preverjanje linearne odvisnosti
Rang pomaga ugotoviti, ali so vrstice ali stolpci matrike linearno neodvisni. Če je rang manjši od števila vrstic ali stolpcev, so nekatere vrstice ali stolpci odvisni od drugih. - Dimenzionalna redukcija
Pri analizi podatkov rang omogoča poenostavitev modelov z identifikacijo ključnih spremenljivk. To pomaga zmanjšati kompleksnost brez izgube pomembnih informacij.
Uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili rang matrike. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj. Povezave najdete spodaj 👇
Rang matrike: vaje z rešitvami
1. Poiščite rang matrike $M$:
Druge matematične vaje matrike
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti rang matrike, hitro poiščite “inštruktor matematike Celje” ali “inštrukcije matematike Maribor”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.