Kaj so matrične enačbe
Matrične enačbe so enačbe, v katerih nastopajo matrike kot osnovni elementi. Najpogosteje jih zapišemo v obliki $AX = B$, kjer so $A$ in $B$ dane matrike, $X$ pa je matrika, ki jo iščemo. Matrične enačbe so pomembne pri reševanju sistemov linearnih enačb, saj omogočajo preprost zapis in učinkovito reševanje z uporabo matričnih operacij.
Pri skalarnih enačbah rešujemo enačbe s števili, medtem ko pri matričnih enačbah delamo z matrikami. Za reševanje matričnih enačb uporabljamo operacije, kot so množenje matrik, določanje inverzne matrike in izračun determinante. Dobro moramo poznati pravila za matrike.
Osnovna zgradba matrične enačbe
- $A$: matrika koeficientov.
- $X$: matrika neznank, ki jo želimo določiti.
- $B$: matrika rezultatov ali desne strani enačbe.
Primer matrične enačbe je na primer sistem linearnih enačb:
$2x + y = 5$
$x-3y = -1$
ki jih zapišemo v matrični obliki kot:
$ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} $
Vrste matričnih enačb
Osnovne matrične enačbe
Matrične enačbe v obliki $AX = B$ rešujemo, ko želimo najti matriko $X$, ki zadostuje enačbi. V tej obliki je $A$ matrika koeficientov, $X$ matrika neznank, $B$ pa matrika rezultatov. Da lahko enačbo rešimo, mora matrika $A$ izpolnjevati določene pogoje.
Pogoji za rešitev matrične enačbe:
- Matrika $A$ mora biti kvadratna in imeti obrnljivo obliko ($\det(A) \neq 0$).
- Če $A$ ni obrnljiva, sistem enačb nima enolične rešitve.
Formula za rešitev:
Če je $A$ obrnljiva, rešitev enačbe določimo s pomočjo inverzne matrike:
$X = A^{-1} \cdot B$
Primer reševanja matrične enačbe
Naj bo $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ in $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$. Oglejmo si, kako rešujemo matrično enačbo:
1. Izračunamo determinanto:
$ \det(A) = (2 \cdot 4)-(1 \cdot 3) = 8-3 = 5 $
2. Poiščemo inverzno matriko $A^{-1}$:
$ A^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} $
3. Rešitev enačbe:
$ X = A^{-1} \cdot B = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ \frac{7}{5} \end{pmatrix} $
Sistemi matričnih enačb
Sistemi enačb v obliki $AX = B$ se uporabljajo za reševanje več enačb hkrati. Matrika $A$ združuje vse koeficiente, matrika $X$ vsebuje neznanke, matrika $B$ pa rezultate. Povezava med rangi vrstic in stolpcev pomaga preveriti, ali ima sistem rešitev.
Pogoji za rešitev:
- Če $\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}([A|B])$, sistem ima rešitev.
- Če $\mathrm{rg}(A) \neq \mathrm{rg}([A|B])$, sistem nima rešitve.
- Če $\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}([A|B]) = n$, kjer je $n$ število stolpcev, ima sistem eno samo rešitev.
Rešimo sistem enačb:
$ 2x + 3y = 7 $
$ 4x + 6y= 14 $
1. Matrike koeficientov in razširjena matrika:
$ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad [A|B] = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 4 & 6 & 14 \end{pmatrix} $
2. Izračunamo rang matrike:
$ \mathrm{rg}(A) = 1, \quad \mathrm{rg}([A|B]) = 1 $
3. Rezultat:
Ker je $\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}([A|B])$, ima sistem enačb neskončno mnogo rešitev.
Več o tem, kako uporabljamo matrike za sistem enačb, tukaj.
Računanje matrične enačbe
Inverzna matrika in matrične enačbe
Za reševanje matričnih enačb v obliki $AX = B$ uporabimo inverzno matriko, če matrika $A$ izpolnjuje pogoje za obrnljivost.
Pogoji za obrnljivost matrike:
- Matrika $A$ mora biti kvadratna.
- Determinanta matrike mora biti različna od $0$: $\det(A) \neq 0$.
Formula za reševanje matrične enačbe: $ X = A^{-1} \cdot B $
Primer: reševanje matrične enačbe z inverzno matriko
Rešimo enačbo $AX = B$, kjer je:
$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$
1. Izračunamo determinanto:
$ \det(A) = (2 \cdot 3) – (1 \cdot 1) = 6 – 1 = 5. $
2. Izračunamo inverzno matriko $A^{-1}$:
$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $
3. Izračunamo $X$:
Najprej izračunamo produkt: $ \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3 \cdot 5) + (-1 \cdot 6) \\ (-1 \cdot 5) + (2 \cdot 6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 – 6 \\ -5 + 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \end{pmatrix} $
Nato delimo s $5$: $ X = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{9}{5} \\ \frac{7}{5} \end{pmatrix} $
Rešitev: $ X = \begin{pmatrix} \frac{9}{5} \\ \frac{7}{5} \end{pmatrix} $
Gaussova eliminacija in matrične enačbe
Gaussova eliminacija je postopek, s katerim poenostavimo matriko v trikotno obliko za lažje reševanje matrične enačbe.
1. Preoblikovanje matrike v trikotno obliko: Matriko $A$ preoblikujemo tako, da elementi pod glavno diagonalo postanejo $0$. Za to uporabimo vrstične operacije:
- Zamenjava vrstic.
- Množenje vrstice z neničelnim številom.
- Prištevanje večkratnika ene vrstice k drugi.
2. Postopek reševanja s substitucijo: Ko je matrika v trikotni obliki, rešimo enačbo od spodaj navzgor.
Primer: reševanje matrične enačbe z Gaussovo eliminacijo
Podan je sistem enačb: $ \begin{aligned} 2x + y + z &= 5 \\ 4x + 3y + z &= 6 \\ 6x + 5y + 4z &= 9 \end{aligned} $
1. Razširjena oblika matrike:
Sistem zapišemo v razširjeni matrični obliki: $ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 5 \\ 4 & 3 & 1 & 6 \\ 6 & 5 & 4 & 9 \end{pmatrix} $
2. Eliminacija
S pomočjo vrstičnih operacij pretvorimo matriko v zgornjo trikotno obliko.
a. Normalizacija prve vrstice: Prvo vrstico delimo z $2$, da dobimo vodilni element $1$:
$ \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 & 2.5 \\ 4 & 3 & 1 & 6 \\ 6 & 5 & 4 & 9 \end{pmatrix} $
b. Odstranitev elementov pod prvim vodilnim elementom: Od druge in tretje vrstice odštejemo ustrezni večkratnik prve vrstice:
$ \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 & 2.5 \\ 0 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 2 & 1 & -6 \end{pmatrix} $
c. Normalizacija druge vrstice: Drugo vrstico že uporabimo za odstranitev elementov pod drugim vodilnim elementom. Končna oblika je:
$ \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 & 2.5 \\ 0 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} $
3. Substitucija
Zgornjo trikotno matriko uporabimo za reševanje enačb od zadnje proti prvi:
- Iz tretje vrstice dobimo $z = 3$.
- Iz druge vrstice izračunamo $y$:
$ y-z = -4 \quad \Rightarrow \quad y-3 = -4 \quad \Rightarrow \quad y = -2 $ - Iz prve vrstice izračunamo $x$:
$ x + 0.5y + 0.5z = 2.5 \quad \Rightarrow \quad x + 0.5(-2) + 0.5(3) = 2.5 \quad \Rightarrow \quad x = 1 $
4. Končna rešitev
Rešitev sistema je:
$ x = 1, \quad y = -2, \quad z = 3 $
Lastnosti matrične enačbe
Singularna matrika in njena vloga
Če za matriko $A$ velja $\det(A) = 0$, reševanje matrične enačbe $A \cdot X = B$ z inverzno matriko ni mogoče. Singularna matrika ima naslednje lastnosti:
- Enačba morda nima rešitev (neskladen sistem).
- Lahko pa ima neskončno mnogo rešitev, odvisno od ranga matrike.
Primer:
Za matriko $A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ velja: $ \det(A) = 2 \cdot 2 – 4 \cdot 1 = 0 $.
Matrika je singularna, saj so vrstice linearno odvisne ($\text{druga vrstica} = \frac{1}{2} \cdot \text{prva vrstica}$).
Linearna odvisnost in rešitev matrične enačbe
Če so vrstice ali stolpci matrike $A$ linearno odvisni, to vpliva na njeno rešljivost:
- Rang matrike določa število rešitev sistema.
- Če rang matrike ni enak številu vrstic, enačba ne more imeti unikatne rešitve.
Pomembno: Linearna odvisnost pomeni, da so nekatere vrstice ali stolpci odvisni od drugih, kar zmanjša število prostih spremenljivk.
Ohranitev oblike pri matričnih operacijah
Pri reševanju matričnih enačb operacije, kot so zamenjava vrstic, množenje ali prištevanje vrstic, vplivajo na determinanto, vendar ne vedno na obliko sistema:
- Zamenjava vrstic: Spremeni predznak determinante ($\det(A’) = -\det(A)$).
- Množenje vrstice s številom $k$: Determinanta se spremeni v $\det(A’) = k \cdot \det(A)$.
- Prištevanje večkratnika ene vrstice k drugi: Determinanta ostane nespremenjena.
Primer:
Za matriko $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$:
1. Zamenjava vrstic: $A’ = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\det(A’) = -\det(A)$.
2. Množenje vrstice s $2$: $A’ = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $\det(A’) = 2 \cdot \det(A)$.
Uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili matrične enačbe. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj. Povezave najdete spodaj 👇
Matrična enačba: vaje z rešitvami
1. Rešite matrične enačbe:
Druge matematične vaje matrike
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti matrične enačbe, hitro poiščite “inštruktor matematike Celje” ali “inštrukcije matematike Maribor”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.