Linearna enačba in linearna neenačba
Linearna enačba je enačba, v kateri se neznanka pojavlja v prvi stopnji. To pomeni, da v enačbi ni kvadratov, korenov ali drugih višjih potenc neznank. Linearna enačba predstavlja premico v kartezičnem koordinatnem sistemu.
🟠Splošna oblika linearne enačbe z eno neznanko je:
$ax + b = 0$
Kjer sta $a$ in $b$ števili, $x$ pa neznanka.
Cilj reševanja linearne enačbe je najti vrednost za neznanko $x$, ki enači levi in desni izraz enačbe.
Linearna neenačba je podobna linearni enačbi, vendar namesto enačaja uporablja znake neenakosti, kot so $>$, $<$, $\geq$, ali $\leq$.
🟠Splošna oblika linearne neenačbe je:
$ax + b > c$
ali
$ax + b \leq c$
Pri reševanju linearnih neenačb je cilj, da ugotovite vrednosti $x$, ki bodo izpolnjevale neenakost med levim in desnim izrazom.
POMEMBNO: Pri množenju ali deljenju z negativnim številom morate obrniti znak neenakosti.
Kaj je linearna enačba
Linearna enačba je enačba, kjer je največja stopnja neznanke $1$. Linearne enačbe lahko rešujete z osnovnimi matematičnimi operacijami, kot so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje. Enačba se imenuje linearna, ker predstavlja premico, kadar jo narišemo v koordinatnem sistemu.
Linearna enačba primer:
$x + 1 = 3$
Rešitev enačbe dobimo tako, da $1$ prenesemo na desno stran enačbe in spremenimo predznak:
$x = 3-1$
Rešitev linearne enačbe je:
$x = 2$
Kako rešujemo linearno enačbo
V nadaljevanju si oglejte, kako rešujemo linearno enačbo:
Pri reševanju linearne enačbe moramo neznanko $x$ spraviti na eno stran enačbe, konstante pa na drugo stran. To naredimo z osnovnimi matematičnimi operacijami. Več o izražanju neznanke si preberite tukaj.
- Najprej poenostavite izraze na obeh straneh, če je to potrebno.
- Nato uporabite seštevanje, odštevanje, množenje ali deljenje, da neznanko osamite na eni strani enačbe.
- Na koncu preverite, ali je rešitev pravilna, tako da jo vstavite nazaj v enačbo.
Reševanje linearne enačbe primer 1:
$2x-5 = 7$
Najprej $-5$ prenesemo na desno stran enačbe in spremenimo predznak:
$2x = 7 + 5$
Nato obe strani enačbe delimo z $2$:
$x = \frac{12}{2}$
Rešitev je:
$x = 6$
Reševanje linearne enačbe primer 2:
$4x-7 = 9$
Najprej $-7$ prestavimo na desno stran enačbe. Pri tem spremenimo predznak:
$4x = 9 + 7$
$4x = 16$
Obe strani enačbe delimo s $4$:
$x = \frac{16}{4}$
$x = 4$
Rešitev je:
$x = 4$
Reševanje linearne enačbe primer 3:
$3x + 2 = 11$
Najprej $2$ prestavimo na desno stran enačbe in spremenimo predznak:
$3x = 11-2$
$3x = 9$
Nato obe strani delimo s $3$:
$x = \frac{9}{3}$
$x = 3$
Rešitev je:
$x = 3$
Kaj je linearna neenačba
Linearna neenačba je podobna linearni enačbi, vendar namesto enačaja uporablja znake neenakosti, kot so $>$, $<$, $\geq$, ali $\leq$.
🟠Splošna oblika linearne neenačbe je:
$ax + b > c$
ali
$ax + b \leq c$
Pri reševanju linearnih neenačb uporabljamo podobne korake kot pri enačbah, vendar moramo pri množenju ali deljenju z negativnim številom obrniti znak neenakosti.
Reševanje linearne neenačbe primer 1:
$3x-4 \leq 8$
Najprej $-4$ prestavimo na desno stran enačbe in spremenimo predznak:
$3x \leq 8 + 4$
$3x \leq 12$
Nato obe strani delimo s $3$:
$x \leq \frac{12}{3}$
$x \leq 4$
Rešitev linearne neenačbe je:
$x \leq 4$
Reševanje linearne neenačbe primer 2:
$2x + 5 \geq 3$
Na levi in desni strani neenačbe odštejemo $5$:
$2x \geq 3-5$
$2x \geq -2$
Levo in desno stran delimo z $2$:
$x \geq \frac{-2}{2}$
$x \geq -1$
Rešitev je:
$x \geq -1$
Možne rešitve linearne neenačbe
Linearne neenačbe lahko imajo:
- Eno rešitev: Kadar neenačba določi en točno določen rezultat.
- Neskončno mnogo rešitev: Kadar je rešitev interval števil.
- Nobene rešitve: Kadar neenačba nima možne rešitve.
Pri linearnih neenačbah lahko rešitev zapišemo v obliki intervala. Na primer, če je rešitev $x \leq 4$, lahko to zapišemo kot interval $(-\infty, 4]$.
Identične enačbe in protislovja
Včasih naletimo na posebne primere linearnih enačb, kot so identitete (identične enačbe) ali protislovja.
Identiteta (identična enačba)
Identiteta ali identična enačba je enačba, ki velja za vse realne številke. o pomeni, da vsaka vrednost, ki jo vstavite namesto neznanke, naredi enačbo pravilno. Množica rešitev identične enačbe je množica vseh realnih števil, kar pomeni, da ima nešteto rešitev.
Primer identitete:
$2(x + 3) = 2x + 6$
Ta enačba je identiteta, saj je leva stran enaka desni strani za vsako vrednost $x$. Če izraz na eni strani enačbe preoblikujemo, dobimo popolnoma enak izraz na drugi strani enačbe, zato velja za vsako realno število $x$. Enačba ima neskončno mnogo rešitev.
Identične enačbe primeri:
- $3(x – 2) = 3x – 6$
- $0 \cdot t = 0$
- $x – 3 = x – 3$
Povedano preprosto, identične enačbe so enačbe, pri katerih sta levi in desni izraz vedno enaka, ne glede na vrednost neznanke.
Protislovje
Protislovje je enačba, ki nima rešitve. To pomeni, da ne obstaja nobena vrednost neznanke, ki bi naredila enačbo pravilno. Protislovja se pojavijo, ko levi in desni izraz enačbe vodita do protislovnega zaključka.
Primer protislovja:
$2x + 3 = 2x + 5$
Ko rešimo to enačbo, dobimo:
$3 = 5$
Ker $3$ ni enako $5$, enačba nima rešitve. To je protislovje, saj je zaključek napačen in ne more biti resničen za nobeno vrednost $x$.
Pogoste napake pri reševanju linearnih enačb in neenačb
1. Nepravilno izvajanje operacij
Ne pozabite, da morate isto operacijo (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje) izvesti na obeh straneh enačbe ali neenačbe.
Napačno:
$2x + 3 = 7$
Če odštejete $3$ samo na levi strani, dobite napačen rezultat.
Pravilno:
$2x = 7-3$
$2x = 4$
$x = \frac{4}{2} = 2$
2. Napačen znak neenakosti pri množenju ali deljenju z negativnim številom
Kadar množite ali delite z negativnim številom, pri neenačbah obrnite znak neenakosti.
Napačno:
$-2x > 6$
Če delite obe strani z $-2$, ne da bi obrnili znak, dobite napačno rešitev:
$x > \frac{6}{-2}$
$x > -3$ (napačno, ker znak neenakosti ni bil obrnjen)
Pravilno:
$-2x > 6$
Ko delite obe strani z $-2$, morate obrniti znak neenakosti:
$x < \frac{6}{-2}$
$x < -3$
3. Napaka pri preizkusu rešitve
Vedno preverite rešitev, tako da jo vstavite nazaj v začetno enačbo ali neenačbo.
Če se izognete tem pogostim napakam bo reševanje linearnih enačb in neenačb veliko bolj zanesljivo in natančno.
Uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili, kako rešujemo linearno enačbo in neenačbo. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj. Povezave najdete spodaj 👇
Linearna enačba in linearna neenačba: vaje z rešitvami
1. Rešite linearno enačbo in preverite rešitev:
2. Rešite linearno enačbo in preverite rešitev:
3. Rešite linearne enačbe z absolutno vrednostjo in preverite rešitev:
4. Rešite linearne enačbe s spremenljivkami v števcu in imenovalcu, preverite rešitev in določite pogoje za rešljivost:
5. Rešite enačbo, če je podan parameter a ∈ ℝ:
6. Rešite linearne neenačbe:
7. Rešite linearne neenačbe z absolutno vrednostjo:
Vas zanimajo tudi druge matematične vaje enačbe in neenačbe?
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti, kako rešujemo linearno enačbo, hitro poiščite “inštruktor matematike Kranj” ali “inštrukcije matematike Ljubljana”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.