Eksponentna enačba in eksponentna neenačba
Eksponentna enačba in eksponentna neenačba sta enačbi, kjer je neznanka $x$ v eksponentu. Za reševanje teh enačb uporabljamo posebne metode, saj jih ne moremo rešiti z osnovnimi aritmetičnimi ali algebrskimi postopki. Za uspešno reševanje eksponentne enačbe ali neenačbe moramo poznati značilnosti potenc in logaritmov.
Kaj je eksponentna enačba
Eksponentna enačba je enačba, kjer je neznanka v eksponentu. Primer:
$2^x = 8$
Pri tej enačbi želimo izračunati $x$. Najprej preverimo, ali lahko osnovi preoblikujemo, da postaneta enaki. Število $8$ zapišemo kot $2^3$, kar nam omogoča, da enačbo preoblikujemo tako:
$2^x = 2^3$
Ker imata zdaj potenci enako osnovo, lahko enačimo eksponente:
$x = 3$
Če osnovi nista enaki in ju ne moremo preoblikovati, uporabimo logaritme. Na primer:
$5^x = 20$
Logaritmiramo obe strani z osnovo $5$:
$x = \log_5 20$
Izračunamo:
$x \approx 1.86$
Kaj je eksponentna neenačba
Eksponentna neenačba je neenačba, kjer se neznanka $x$ nahaja v eksponentu. Na primer:
$3^x < 9$
Najprej poskusimo osnovi preoblikovati, če je mogoče. V tem primeru lahko $9$ zapišemo kot $3^2$:
$3^x < 3^2$
Ker je osnova večja od $1$ ($3 > 1$), lahko neposredno primerjamo eksponente:
$x < 2$
Če imamo eksponentno neenačbo z osnovo med $0$ in $1$, na primer:
$0.5^x < 0.25$
Osnovo $0.25$ zapišemo kot $0.5^2$:
$0.5^x < 0.5^2$
Ker je osnova manjša od $1$ ($0.5 < 1$), se znak neenačbe obrne:
$x > 2$
Kako prepoznati eksponentno enačbo
Eksponentna enačba se razlikuje od linearne ali kvadratne enačbe, saj je neznanka v eksponentu in ne v osnovi ali kot del vsote ali produkta. Za reševanje eksponentne enačbe uporabljamo matematične operacije, kot sta enačenje osnov in logaritmiranje.
Eksponentne neenačbe so posebne, ker moramo pri določitvi rešitve upoštevati vrednost osnove. Pravila se razlikujejo glede na to, ali je osnova večja od $1$ ali manjša od $1$.
Eksponentna enačba pravila
Pri reševanju eksponentnih enačb moramo najprej prepoznati osnovo in eksponent. Eksponentna enačba pravila so odvisna od tega, ali sta osnovi enaki ali različni. Enačbo moramo preoblikovati tako, da lahko primerjamo eksponente ali logaritmiramo.
1. Eksponentna enačba z enakima osnovama
Če imata potenci enako osnovo, primerjamo eksponente. Enačba je v obliki:
$a^{m} = a^{n}$
Ker sta osnovi enaki, enačimo eksponente:
$m = n$
Na primer:
$3^{2x+1} = 3^5$
Osnovi sta enaki ($3$), zato enačimo eksponente:
$2x+1 = 5$
$2x = 4$
$x = 2$
2. Eksponentna enačba z različnima osnovama in enakim eksponentom
Če sta osnovi različni, eksponent pa enak, velja:
$a^{m} = b^{m}$
V tem primeru mora biti $m = 0$, ker sta osnovi enaki samo, če je eksponent enak $0$:
$(a/b)^{m} = 1 \implies m = 0$
Na primer:
$4^x = 2^x$
Osnovi zapišemo kot potenco istega števila:
$(2^2)^x = 2^x$
$2^{2x} = 2^x$
Enačimo eksponente:
$2x = x$
$x = 0$
3. Eksponentna enačba z različnimi osnovami in logaritmiranje
Če osnovi nista enaki in ju ne moremo zapisati enako, uporabimo logaritme. Na primer:
$5^x = 20$
Logaritmiramo obe strani:
$x \cdot \log 5 = \log 20$
$x = \frac{\log 20}{\log 5}$
Z logaritmiranjem lahko izračunamo $x$, tudi kadar osnovi nista enaki.
Tako rešujemo eksponentne enačbe glede na osnovo in eksponent.
Eksponentna enačba rešeni primeri
Zdaj pa vas verjetno zanima, kako poteka reševanje eksponentne enačbe. Oglejte si eksponentna enačba rešeni primeri, kjer smo predstavili načine za reševanje treh različnih vrst eksponentnih enačb.
Primer 1: Eksponentna enačba z enakima osnovama
$4^{2x-1} = 4^3$
Ker imata potenci enako osnovo ($4$), enačimo eksponente:
$2x-1 = 3$
Rešitev:
$2x = 4$
$x = 2$
Primer 2: Eksponentna enačba z različnima osnovama in enakim eksponentom
$2^x = 8^x$
Osnovi sta različni ($2$ in $8$), zato število $8$ zapišemo kot $2^3$:
$2^x = (2^3)^x$
$2^x = 2^{3x}$
Primerjamo eksponente in jih izenačimo:
$x = 3x$
$0 = 2x$
$x = 0$
Primer 3: Eksponentna enačba rešena z logaritmi
$3^x = 27$
Ker osnovi ne moremo enačiti brez preoblikovanja, uporabimo logaritme. Logaritmiramo obe strani:
$x \cdot \log 3 = \log 27$
$x = \frac{\log 27}{\log 3}$
Ker vemo, da je $27 = 3^3$, poenostavimo:
$x = \frac{3 \cdot \log 3}{\log 3}$
$x = 3$
Eksponentna neenačba
Eksponentna neenačba je neenačba, kjer je neznanka v eksponentu. Rešujemo jo s preoblikovanjem osnov ali z logaritmiranjem, odvisno od oblike.
Eksponentna neenačba pravila – glede na osnovo
🟠 Osnova večja od $1$ ($a > 1$):
Pri neenačbah oblike $a^m < a^n$ primerjamo eksponente: $m < n$
🟠 Osnova med $0$ in $1$ ($0 < a < 1$):
Pri neenačbah oblike $a^m < a^n$ se znak neenačbe obrne: $m > n$
Reševanje eksponentne neenačbe
Eksponentne neenačbe rešujemo:
🟠 Grafično: Narišemo grafa funkcij in poiščemo intervale, kjer je ena funkcija manjša ali večja od druge.
🟠 Računsko: Osnovi preoblikujemo ali logaritmiramo, da enačbo pretvorimo v linearno neenačbo.
Tako rešimo eksponentne neenačbe, ne glede na osnovo ali eksponent.
Eksponentna neenačba primer
Tukaj sta dva primera reševanja eksponentne neenačbe:
Primer 1: Grafična rešitev eksponentne neenačbe
$2^x < 8$
Narišemo grafa funkcij $f(x) = 2^x$ in $g(x) = 8$. Poiščemo točko presečišča grafov ter določimo, kje je $2^x$ manjša od $8$. Grafa se sekata pri $x = 3$, zato je rešitev:
$x < 3$
Primer 2: Računska rešitev z logaritmi
$3^x > 15$
Logaritmiramo obe strani:
$x \cdot \log 3 > \log 15$
$x > \frac{\log 15}{\log 3}$
Rešitev je:
$x > 2.464$
Uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili, kako rešujemo eksponentne enačbe in neenačbe. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj. Povezave najdete spodaj 👇
Eksponentna enačba rešeni primeri: vaje z rešitvami
1. Rešite eksponentno enačbo:
2. Rešite eksponentno enačbo:
3. Rešite eksponentno enačbo:
4. Rešite eksponentno neenačbo:
Vas zanimajo tudi druge matematične vaje enačbe in neenačbe?
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti eksponentna enačba pravila, hitro poiščite “inštruktor matematike Kranj” ali “inštrukcije matematike Ljubljana”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.