Premica in ravnina v prostoru: vaje z rešitvami
1. Določi smerni vektor in normalni vektor premice $p$, če je podano:
2. Določi parametrično, implicitno in eksplicitno enačbo premice $p$, ki poteka skozi dani točki:
3. Premica $p$ ima dan smerni vektor $\vec{d}$ in normalni vektor $\vec{n}$ ter poteka skozi točko $K$. Določi parametrično, implicitno in eksplicitno enačbo premice $p$:
4. Določi parametrično, implicitno in eksplicitno enačbo premice $p$, ki poteka skozi točko $M$ in s pozitivnim delom osi $x$ oklepa kot $\varphi$:
5. Pretvori parametrično enačbo premice v implicitno in eksplicitno obliko:
6. Pretvori implicitno enačbo premice v parametrično in eksplicitno obliko:
7. Pretvori eksplicitno enačbo premice v parametrično in implicitno obliko:
8. Določi implicitno in eksplicitno enačbo premice, ki poteka skozi točko $L$ in je vzporedna dani premici $p$:
9. Določi implicitno in eksplicitno enačbo premice, ki poteka skozi točko $N$ in je pravokotna na dano premico $p$:
10. Izračunaj kot naklona premice, podane z enačbo:
11. Ugotovi, ali sta dani premici $p$ in $q$ vzporedni ali pravokotni:
(uporabi normalna vektorja obeh premic)
12. Dani sta točki $A[3;2]$, $B[-1;-1]$ in vektor $a = (12;-5)$, kjer je $a = C-B$.
a) Določi koordinate točke $C$.
b) Dokaži, da točke $A$, $B$ in $C$ tvorijo trikotnik.
c) Zapiši splošne enačbe premic, na katerih ležijo stranice trikotnika $ABC$.
d) Zapiši splošne enačbe premic, na katerih ležijo težišča trikotnika $ABC$.
e) Zapiši splošne enačbe premic, na katerih ležijo višine trikotnika $ABC$.
f) Zapiši parametrično enačbo premice, ki poteka skozi razpolovišči daljic $AC$ in $BC$.
g) Zapiši eksplicitno enačbo premice, ki poteka skozi točko $A$ in je vzporedna s premico $BC$.
h) Določi koordinate težišča $T$.
i) Izračunaj obseg trikotnika $ABC$.
j) Izračunaj ploščino trikotnika $ABC$.
13. Določi splošno enačbo simetral daljic $AB$, $AC$ in $BC$, če so dane točke $A[2;5]$, $B[-3;9]$, $C[6;12]$.
14. Dokaži, da točke $A[3;4]$, $B[-1;2]$, $C[1;3]$, $D[-5;0]$ ležijo na isti premici.
Zapiši parametrično, implicitno in eksplicitno enačbo te premice.
15. Zapiši parametrično enačbo premice, ki poteka skozi točko $A[4;-1;9]$ in je vzporedna:
a) osi $x$
b) osi $y$
c) osi $z$
16. Zapiši parametrično enačbo premice $p$, ki poteka skozi točko $A[2;-1;2]$ in je pravokotna na ravnino $\pi: x-y + z + 13 = 0$.
17. Zapiši parametrično enačbo in splošno enačbo ravnine $\rho = ABC$, kjer so točke $A[-4;0;2]$, $B[-2;1;1]$, $C[1;-3;-2]$.
18. Zapiši splošno enačbo ravnine $\alpha$, ki poteka skozi točko $A[2;1;4]$ in je vzporedna z ravnino $\beta: x-2y + 5z + d = 0$.
19. Zapiši splošno enačbo ravnine $\sigma$, ki poteka skozi točko $A[1;2;0]$ in je pravokotna na premico $p: x = 3-t, y = 4 + 2t, z = 1-2t, \ t \in \mathbb{R}$.
20. Dana je pravilna kvadratna piramida $ABCDV$ z oglišči $D[0;0;0]$, $A[4;0;0]$, $B[4;4;0]$, $V[2;2;6]$. Zapiši splošno enačbo ravnine $BCV$.
Analitična geometrija: vaje z rešitvami
Praksa je ključ do uspeha pri učenju matematike, zato izkoristite vsa dostopna učna gradiva. Srečno reševanje! P.s.: Dodali smo tudi rešitve nalog.
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti premice in ravnine v prostoru, hitro poiščite “inštruktor matematike Maribor” ali “inštrukcije matematike Ljubljana”. Na meet’n’learn se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.