Kaj sta skupni večkratnik in delitelj
Najmanjši skupni večkratnik in največji skupni delitelj sta osnovna pojma deljivosti naravnih števil.
Najmanjši skupni večkratnik $v(a,b)$ je najmanjše število, ki je hkrati deljivo z obema danima številoma.
Največji skupni delitelj $D(a,b)$ je največje število, ki deli obe dani števili brez ostanka.
Primer večkratniki in delitelji
Za števili $a=12$ in $b=18$:
- Najmanjši skupni večkratnik je $v(12,18)=36$, ker lahko število $36$ delimo z $12$ in z $18$ brez ostanka, in je med vsemi takimi števili najmanjše.
- Največji skupni delitelj je $D(12,18)=6$, ker $6$ deli tako $12$ kot $18$, in je med vsemi delitelji največje.
Ti pojmi vam bodo pomagali razumeti deljivost števil in rešiti naloge, kjer morate poiskati večkratnike in delitelje.
Najmanjši skupni večkratnik (v)
Najmanjši skupni večkratnik $v(a,b)$ je najmanjše naravno število, ki je deljivo z obema številoma $a$ in $b$ brez ostanka.
Oglejmo si dva različna načina s pomočjo katerih poiščemo najmanjši skupni večkratnik.
1. način: naštevanje večkratnikov
Naštejemo večkratnike obeh števil in poiščemo najmanjšega skupnega. Naštevanje večkratnikov je primerno za manjša števila, kjer je naštevanje hitro in pregledno.
Primer naštevanje večkratnikov
Za števili $a=4$ in $b=6$:
Večkratniki števila $4$ so: $4, 8, 12, 16, 20, …$
Večkratniki števila $6$ so: $6, 12, 18, 24, …$
Najmanjši skupni večkratnik je $v(4,6)=12$.
2. način: razcep na prafaktorje
Števili razcepimo na prafaktorje. Nato vzamemo največje potence vseh praštevil in jih pomnožimo. Razcep na prafaktorje je primeren za večja števila, kjer je naštevanje preveč zamudno ali nepregledno.
Primer razcep na prafaktorje
Poiščite najmanjši skupni večkratnik ($v$) za števili $a = 8$ in $b = 12$ z razcepom na prafaktorje.
Razcep na prafaktorje:
$8 = 2^3$
$12 = 2^2 \cdot 3$
Največje potence praštevil:
$v(8,12) = 2^3 \cdot 3 = 24$
Najmanjši skupni večkratnik števil $8$ in $12$ je $24$.
Vaja najmanjši skupni večkratnik
Poišči $v(10,15)$.
1. Razcep:
$10 = 2 \cdot 5$
$15 = 3 \cdot 5$
2. Največje potence praštevil:
$v(10,15) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$
Najmanjši skupni večkratnik števila $10$ in $15$ je $30$.
Največji skupni delitelj (D)
Največji skupni delitelj $D(a,b)$ je največje naravno število, ki deli obe števili $a$ in $b$ brez ostanka.
Oglejmo si dva različna načina s pomočjo katerih poiščemo največji skupni delitelj.
1. način: iskanje skupnih prafaktorjev
Števili razcepimo na prafaktorje. Nato poiščemo skupne praštevilske faktorje in vzamemo njihove najmanjše potence. Iskanje skupnih prafaktorjev je primerno, kadar imamo manjša števila (do 100).
Primer razcep na prafaktorje
Za števili $a=24$ in $b=36$:
Razcep:
$24 = 2^3 \cdot 3$
$36 = 2^2 \cdot 3^2$
Skupni prafaktorji so $2$ in $3$, njihove najmanjše potence so $2^2$ in $3$.
$D(24,36) = 2^2 \cdot 3 = 12$
2. način: Evklidov algoritem
Pri tem postopku večje število delimo z manjšim. Ostanek uporabimo kot novo število in postopek ponavljamo, dokler ne dobimo ostanka $0$. Zadnje število pred $0$ je največji skupni delitelj. Evklidov algoritem je dober način, ko imamo velika števila (nad 100).
Evklidov algoritem temelji na ponavljajočem se postopku deljenja, kjer uporabljamo formulo:
$a = k \cdot b + r$
- $a$ je večje število,
- $b$ je manjše število,
- $k$ je količnik,
- $r$ je ostanek.
Pri vsakem koraku večje število delimo z manjšim, ostanek pa uporabimo kot novo manjše število. Postopek ponavljamo, dokler ostanek ni enak $0$. Zadnji ostanek pred $0$ je največji skupni delitelj.
Primer Evklidov algoritem
Poiščite $D(48,18)$ z uporabo Evklidovega algoritma:
$48 \div 18 = 2$ (ostanek $12$)
$18 \div 12 = 1$ (ostanek $6$)
$12 \div 6 = 2$ (ostanek $0$)
$D(48,18) = 6$.
Povezava med najmanjšim skupnim večkratnikom in največjim skupnim deliteljem
Med najmanjšim skupnim večkratnikom ($v$) in največjim skupnim deliteljem ($D$) dveh števil $a$ in $b$ velja formula:
$D(a,b) \cdot v(a,b) = a \cdot b$
Formula vam omogoča, da izračunate $v(a,b)$ ali $D(a,b)$, če poznate preostale parametre. Če poznate $a$, $b$ in $D(a,b)$, lahko izračunate $v(a,b)$ tako:
$v(a,b) = \frac{a \cdot b}{D(a,b)}$
Primer
Izračunajte $v(18,24)$, če poznate $D(18,24) = 6$.
1. Najprej izračunajte produkt števil:
$18 \cdot 24 = 432$
2. Nato uporabite formulo:
$v(18,24) = \frac{432}{6} = 72$
Najmanjši skupni večkratnik števil $18$ in $24$ je $72$.
Ta formula je uporabna, ko želite hitro določiti $v(a,b)$ ali $D(a,b)$, ne da bi potrebovali daljši postopek razcepa števil na prafaktorje.
Čestitamo, uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili, kaj je najmanjši skupni večkratnik in največji skupni delitelj, Evklidov algoritem in razcep na prafaktorje. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju besedilne naloge večkratniki in delitelji. Naloge z rešitvami najdete spodaj 👇
Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik vaje
1. Poišči najmanjši skupni večkratnik in največji skupni delitelj danih dveh števil
2. Poišči najmanjši skupni večkratnik in največji skupni delitelj danih dveh števil
Besedilne naloge večkratniki in delitelji
3. Poišči največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 12, 24, 48, 192 in 288.
4. Pri prenovi železniške proge so 40-metrske odseke tirnic zamenjali s 15-metrskimi. Kolikšen je najkrajši odsek proge, ki ga lahko zamenjajo brez rezanja tirnic?
5. Dana je kocka s celoštevilčno dolžino roba. Iz koliko najmanj takšnih kock lahko sestavimo kvader z dimenzijami 24 cm × 32 cm × 60 cm? Kolikšna bo dolžina roba teh kock?
6. Na koliko največ skupin lahko razdelimo 90 otrok in 24 učiteljev, tako da je v vsaki skupini enako število otrok in učiteljev?
7. Koliko najmanj kvadratov mora imeti čokolada, da jo lahko pravično razdelimo med 5 in 7 prijateljev?
8. Koliko najmanj učencev mora biti v razredu, da se lahko brez preostanka postavijo v vrste po 3, 4, 5 in 6?
Rešite tudi druge matematične vaje z rešitvami
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti, najmanjši skupni večkratnik in največji skupni delitelj, hitro poiščite “inštruktor matematike Celje” ali “inštrukcije matematike Ljubljana”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.