Geometrijska konstrukcija v ravnini
Geometrijska konstrukcija pomeni risanje geometrijskih likov z največjo možno natančnostjo. Uporabljamo le ravnilo brez merila, šestilo in po potrebi kotomer. Z ravnilom vlečemo ravne črte, s šestilom prenašamo dolžine ali rišemo krožnice. Kotomer lahko uporabimo za preverjanje konstruiranih kotov, nikoli za samo konstrukcijo.
V tem poglavju bomo obravnavali postopke za konstruiranje osnovnih elementov trikotnika, kot so stranice, višine, simetrale, težiščnice in krožnice. Naučili se bomo tudi, kako natančno določimo presečišče premic, kar je pogosto potreben korak pri reševanju konstrukcijskih nalog v geometriji.
Geometrijska konstrukcija – osnovni postopki
🟠 Kaj pomeni geometrijska konstrukcija
Geometrijska konstrukcija pomeni risanje geometrijskih likov samo s šestilom in ravnilom brez merila. Uporabimo jo pri nalogah, kjer ne smemo meriti dolžin ali kotov. V šoli jo srečamo pri konstruiranju likov, deljenju daljic, risanju simetral, višinskih točk in podobno. Vsak korak temelji na natančnih pravilih in poteka z logičnim zaporedjem korakov, brez ugibanja ali merjenja.
🟠 Osnovni elementi pri konstrukciji
Pri konstruiranju uporabljamo premico, daljico, simetralo, pravokotnico in krožnico. Premico narišemo skozi dve točki, daljico kot del premice z določenima krajiščema. Simetrala razpolavlja daljico pravokotno nanjo, pravokotnica pa tvori pravi kot s podano premico. Krožnica nam omogoča prenašanje razdalj in iskanje presečišč. Vsak izmed teh elementov uporabljamo pri sestavljanju bolj zapletenih likov, kot je trikotnik.
Presečišče premic – grafični in konstrukcijski postopki
Kako določimo presečišče premic
Presečišče premic je točka, kjer se premici sekata. Možne so tri situacije:
🟠 premici se sekata v eni točki,
🟠 premici sta vzporedni in nimata skupne točke,
🟠 premici sovpadata in imata neskončno mnogo skupnih točk.
V vseh primerih se odločimo za primeren postopek – grafični, računski ali konstrukcijski.
Računsko in grafično iskanje presečišča
Če imamo enačbi dveh premic, poiščimo presečišče tako, da ju izenačimo:
$x + 4 = -2x + 1$
$3x = -3$
$x = -1$
$x$ vstavimo v eno izmed enačb:
$y = x + 4$
$y = -1 + 4$
$y = 3$
Dobimo točko $(-1, 3)$. To je presečišče premic.
Grafično ga poiščemo tako, da v koordinatni sistem natančno narišemo obe premici in odčitamo točko sečišča.
Kadar nimamo enačb, delamo s konstrukcijo. Z ravnilom narišemo nosilki premic, s šestilom določimo dodatne točke, nato poiščemo presečišče. Tak način uporabljamo pri nalogah, kjer konstruiramo težišče, višinsko točko ali druge elemente trikotnika.
Konstruiranje trikotnika – skladnostni izreki in praktični primeri
Najpogostejši tipi podatkov pri konstruiranju
Za konstruiranje trikotnika uporabimo skladnostne izreke. Ti določajo, kateri podatki zadoščajo, da trikotnik enolično določimo:
🟠 SSS: poznamo vse tri stranice,
🟠 SKS: poznamo dve stranici in kot med njima,
🟠 KSK: poznamo eno stranico in dva kota ob njej,
🟠 SsK: poznamo dve stranici in kot, ki ni vmesni; ta možnost ima lahko dve rešitvi, eno ali nobene.
Pri vsaki nalogi najprej preverimo, katere podatke imamo. Na tej osnovi izberemo ustrezen konstrukcijski postopek.
Primer konstrukcije trikotnika z danima kotom in stranico
Naj bo dana stranica $c = 7\ \text{cm}$ in kota $\alpha = 40^\circ$ ter $\beta = 65^\circ$.
Najprej narišemo osnovnico $AB$ dolžine $7\ \text{cm}$.
V točki $A$ s kotomerom odmerimo kot $\alpha$, v točki $B$ kot $\beta$.
S pomočjo obeh krakov določimo presečišče v točki $C$.
Povežemo točke $A$, $B$ in $C$.
Preverimo, ali vsota kotov znaša $180^\circ$ in ali dolžina osnovnice ustreza podatku.
Znamenite točke trikotnika
Z znamenitimi točkami povežemo osnovne geometrijske konstrukcije:
🟠 višinska točka: presečišče vseh višin; vsako višino narišemo kot pravokotnico iz oglišča na nasprotno stranico,
🟠 težišče: presečišče težiščnic; težiščnica povezuje oglišče s sredino nasprotne stranice,
🟠 središče očrtane krožnice: presečišče simetral stranic,
🟠 središče včrtane krožnice: presečišče simetral notranjih kotov.
Vsako točko konstruiramo z ravnilom in šestilom, z uporabo pravokotnic, simetral in razpolovišč.
Kotomer in preverjanje konstruiranih kotov
Kdaj uporabimo kotomer
Kotomer uporabimo, kadar želimo preveriti velikost konstruiranega kota. Merimo lahko kote, kot so $60^\circ$, $90^\circ$ ali $45^\circ$, ki smo jih narisali z geometrijsko konstrukcijo. Pri sami konstrukciji ga ne smemo uporabiti – ni dovoljen, ker ni sestavni del postopkov s šestilom in ravnilom.
Geotrikotnik kot praktično orodje v razredu
Pri preverjanju nam pomaga geotrikotnik. Z njim hitro narišemo pravokotnice in vzporednice, zato ga pogosto uporabljamo pri šolskem delu. Čeprav olajša risanje, ne spada med orodja za natančno geometrijsko konstrukcijo. Še vedno moramo znati konstruirati kote brez njega, samo z ravnilom in šestilom.
Kako obvladati geometrijsko konstrukcijo
Pri geometrijski konstrukciji štejeta vaja in natančnost. Dobro moramo poznati uporabo ravnila, šestila in kotomera, čeprav slednjega samo za preverjanje. Z rednim delom utrdimo konstruiranje trikotnika in znamo določiti presečišče premic tako grafično kot računsko. Pomembno je, da postopke izvajamo dosledno in vedno sledimo zaporedju konstrukcijskih korakov. Če znamo narisati osnovne elemente, kot so simetrale, pravokotnice in krožnice, lahko sestavimo tudi zahtevnejše like brez težav. Pri vsakem koraku mora biti konstrukcija jasna, pregledna in točna.
Uspešno ste se prebili skozi snov in osvojili, kako poteka konstruiranje trikotnika. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj. Povezave najdete spodaj 👇
Geometrijska konstrukcija: vaje z rešitvami
1. Konstruiraj trikotnik ABC, pri katerem velja: $a = 4\ \text{cm}$, $b = 5\ \text{cm}$, $c = 6\ \text{cm}$.
2. Konstruiraj trikotnik ABC, pri katerem velja: $c = 7{,}5\ \text{cm}$, $\alpha = 45^\circ$, $\beta = 60^\circ$.
3. Konstruiraj trikotnik ABC, pri katerem velja: $b = 6\ \text{cm}$, $c = 4{,}5\ \text{cm}$, $\alpha = 72^\circ$.
4. Konstruiraj trikotnik ABC, pri katerem velja: $a = 6{,}5\ \text{cm}$, $c = 8\ \text{cm}$, $\alpha = 38^\circ$.
5. Konstruiraj trikotnik ABC, pri katerem velja: $a = 4\ \text{cm}$, $c = 6{,}5\ \text{cm}$, $\beta = 60^\circ$.
6. Konstruiraj trikotnik ABC, pri katerem velja: $a = 4{,}5\ \text{cm}$, $c = 7\ \text{cm}$, $\gamma = 90^\circ$.
7. Konstruiraj trikotnik ABC, pri katerem velja: $c = 8\ \text{cm}$, $h_c = 4\ \text{cm}$, $m_c = 7\ \text{cm}$.
8. Konstruiraj trikotnik ABC, pri katerem velja: $a = 6\ \text{cm}$, $b = 8{,}5\ \text{cm}$, $h_a = 5\ \text{cm}$.
9. Konstruiraj enakokraki trikotnik ABC z osnovnico $AB$, pri katerem velja: $a = 5\ \text{cm}$, $h_a = 4\ \text{cm}$.
10. Konstruiraj pravokotni trikotnik ABC s hipotenuzo $AB$, kjer je $|AB| = c = 10\ \text{cm}$ in višina na hipotenuzo $h_c = 4\ \text{cm}$.
11. Konstruiraj kvadrat $ABCD$, pri katerem je diagonala $|AC| = e = 12\ \text{cm}$.
12. Konstruiraj romb $ABCD$, pri katerem velja: $|AB| = a = 6\ \text{cm}$, $|AC| = e = 7\ \text{cm}$.
13. Konstruiraj izbočen štirikotnik $ABCD$, pri katerem velja: $a = 8\ \text{cm}$, $b = 6\ \text{cm}$, $c = 5\ \text{cm}$, diagonala $|AC| = e = 7\ \text{cm}$, kot $\alpha = 60^\circ$.
14. Konstruiraj trapez $ABCD$ z osnovnicama $AB$ in $CD$, pri katerem velja: $a = 10\ \text{cm}$, $b = 4{,}8\ \text{cm}$, $c = 4{,}2\ \text{cm}$, kot $\beta = 65^\circ$.
15. Konstruiraj paralelogram $ABCD$, pri katerem velja: $a = 7{,}5\ \text{cm}$, $b = 4\ \text{cm}$ in kot $\angle DAB = 100^\circ$.
Geometrija v ravnini: vaje z rešitvami
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti, kaj je geometrijska konstrukcija, hitro poiščite “inštruktor matematike Maribor” ali “inštrukcije matematike Velenje”. Na meet’n’learn ali v Facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.