Geometrija v ravnini oziroma planimetrija
Geometrija v ravnini obravnava like, ki ležijo v dvodimenzionalnem prostoru. Ravnina ima dolžino in širino, višine pa ne upoštevamo. Takemu preučevanju pravimo tudi planimetrija.
Pri delu uporabljamo točko, premico, daljico, poltrak, kot in različne geometrijske like: trikotnik, štirikotnik, večkotnik, krog, krožnica.
Točka je brez dimenzije, opredelimo jo le z lego. Premica je neskončna ravna črta. Daljica ima krajišči in končno dolžino. Poltrak ima izhodišče in se v eno smer nadaljuje brez konca. Kot nastane med dvema poltrakoma z istim izhodiščem.
Geometrijski liki so množice točk, ki ležijo v isti ravnini. Imajo določene dolžine, širine, kote in stranice. V tem delu geometrije ne uporabljamo prostornine ali višine telesa – to obravnava stereometrija.
Primerjava obeh vej:
| Geometrija v ravnini | Geometrija v prostoru |
|---|---|
| dolžina in širina | dolžina, širina, višina |
| geometrijski liki | geometrijska telesa |
| točka, premica, daljica, kot | točka, premica, ploskev, prostornina |
| planimetrija | stereometrija |
V ravninski geometriji velja:
- skozi dve različni točki lahko narišemo natanko eno premico
- tri nekolinearne točke določajo natanko eno ravnino
- dve premici v ravnini se lahko sekata, sta vzporedni ali sovpadata
Na teh pravilih gradimo vse nadaljnje geometrijske like in izračune: dolžine stranic, velikosti kotov, položajne odnose med elementi in lastnosti likov.
Točka, premica in ravnina v ravninski geometriji
V ravninski geometriji delamo s točko, premico in ravnino. Z njimi gradimo vse druge geometrijske elemente, kot so daljica, kot in geometrijski liki.
🟠 Točka kot osnovni gradnik
Točka nima velikosti, dolžine ali širine. Označimo jo z veliko tiskano črko, na primer A, B ali C.
Če točke ležijo v isti ravnini, so komplanarne. V ravninski geometriji vedno obravnavamo komplanarne točke.
Medsebojno lego dveh točk zapišemo:
- če sovpadata: $A = B$
- če ne sovpadata: $A \ne B$
🟠 Premica in kolinearne točke
Premica je neskončna ravna črta. Označimo jo z malo tiskano črko, na primer p, q ali r.
Če več točk leži na isti premici, so kolinearne. Če ne ležijo na isti premici, so nekolinearne.
Točko in premico povežemo s simboloma:
- $A \in p$: točka A leži na premici p
- $A \notin p$: točka A ne leži na premici p
Dve premici imata lahko različne lege:
- sekata se, če imata natanko eno skupno točko
- sta vzporedni, če nimata nobene skupne točke
- sovpadata, če imata vse skupne točke
🟠 Ravnina in lega elementov v njej
Ravnina je neomejena ravna ploskev brez višine. Označimo jo z veliko grško črko, na primer $\pi$.
Ravnino določimo:
- s tremi nekolinearnimi točkami
- s premico in točko, ki ne leži na tej premici
- z dvema sekajočima se premicama
- z dvema vzporednima premicama, ki ne sovpadata
Aksiomi za lego v ravnini:
- skozi tri nekolinearne točke poteka natanko ena ravnina
- če ima premica z ravnino dve različni skupni točki, leži v tej ravnini
Premica in ravnina imata lahko:
- skupno eno točko, tedaj premica prebada ravnino
- skupne vse točke, če premica leži v ravnini
- nobene skupne točke, tedaj sta vzporedni
Če premica prebada ravnino, skupno točko imenujemo prebodišče. Označimo jo s črko, na primer $P \in p \cap \pi$.
Daljica, poltrak in razdalja med točkama
Daljica in poltrak nam določita lego in usmerjenost točk v ravnini. Z njima merimo dolžine in preverjamo odnose med točkami. Razdaljo med točkama lahko izračunamo neposredno ali v koordinatnem sistemu.
🟠 Daljica in njena dolžina
Daljica je del premice med dvema točkama A in B. Točki A in B sta krajišči daljice. Označimo jo z $AB$.
Nosilka daljice je premica, ki gre skozi točki A in B. Dolžina daljice je razdalja med krajiščema. Označimo jo z:
$\lvert AB \rvert = d(A, B)$
Ta razdalja je vedno nenegativno realno število.
🟠 Poltrak in njegovo izhodišče
Poltrak je ravna črta, ki ima začetek, a nima konca. Izhodišče je točka, od katere se poltrak nadaljuje v eno smer. Označimo ga z $AB$, kjer je A izhodišče, B pa točka na poltraku.
Poltrake uporabljamo pri konstruiranju kotov, deljenju ravnine in opisovanju usmerjenosti.
🟠 Razdalja med dvema točkama
Če imata točki A in B koordinati $A(x_1, y_1)$ in $B(x_2, y_2)$, izračunamo razdaljo po formuli:
$d(A, B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
Z lastnostmi razdalje preverjamo pravilnost konstrukcij:
- $d(A, B) \geq 0$
- $d(A, B) = 0 \iff A = B$
- $d(A, B) = d(B, A)$
- Trikotniška neenakost: za poljubno točko C velja:
$d(A, B) \leq d(A, C) + d(C, B)$
Če točka C leži na daljici $AB$, velja enakost.
S pomočjo teh razmerij primerjamo dolžine stranic, preverjamo pravilnost trikotnikov in načrtujemo natančne konstrukcije.
Geometrijski liki v ravnini
Geometrijski liki so sestavljeni iz točk, ki ležijo v eni ravnini. Omejujejo jih daljice ali krivulje. Vsak lik ima mejo, notranjost in značilno lego. V ravninski geometriji delamo izključno z liki, ki so komplanarni.
Kaj so geometrijski liki
Geometrijski lik je omejena množica točk v ravnini. Lik je zaprt, če je njegova meja sklenjena.
Najpogostejši geometrijski liki so:
- trikotnik – ima tri stranice in tri oglišča,
- štirikotnik – ima štiri stranice (pravokotnik, kvadrat, romb, trapez),
- krog – vsebuje vse točke, ki so od središča oddaljene za točno določen polmer,
- večkotnik – ima pet ali več stranic in oglišč.
Vsak od teh likov gradimo s točkami, daljicami in koti.
Lastnosti geometrijskih likov
Pri vsakem liku preverimo:
- konveksnost: če za vsaki dve točki znotraj lika velja, da daljica med njima v celoti leži v liku, je ta konveksen,
- omejenost: lik je omejen, če vsebuje končno množico točk (daljica, trikotnik); če tega ni, govorimo o neomejenem liku (poltrak, premica),
- lega v ravnini: vsi geometrijski liki ležijo v eni ravnini. Določimo jim stranice, diagonale, oglišča, središča in kote.
Pri delu z geometrijskimi liki nas zanima njihova oblika, lega, dolžine stranic, velikosti kotov, obseg in ploščina. Vse te količine izračunamo z znanimi formulami in pravilnimi postopki.
Vzporednost in sekanje premic v ravnini
V ravninski geometriji nas zanima, kako sta med seboj postavljeni dve premici. Lahko se sekata, sta vzporedni, mimobežni ali sovpadata. Vsaka od teh leg ima svoj natančen matematični opis.
🟠 Vzporedne premice
Premici sta vzporedni, če ležita v isti ravnini in nimata nobene skupne točke ali pa sovpadata. Z matematičnim zapisom to povemo takole: $p \parallel q$
Vzporedne premice imajo enako smer. Če premici nimata nobene skupne točke in ne ležita v isti ravnini, nista vzporedni, temveč mimobežni.
🟠 Sekanje premic in presečišče
Če imata premici natanko eno skupno točko, pravimo, da se sekata. To točko imenujemo presečišče. Premici, ki se sekata, zapišemo: $p \cap q = {M}$
Točko $M$ označimo kot presečišče premic $p$ in $q$.
Premici, ki se sekata, imenujemo sečnici.
🟠 Mimobežne premice
Če dve premici ne ležita v isti ravnini in nimata skupne točke, ju imenujemo mimobežni premici.
V ravninski geometriji mimobežnih premic ne obravnavamo, ker vse obravnavane premice ležijo v eni ravnini. Mimobežnost je značilna za prostorsko geometrijo.
🟠 Sovpadanje premic
Poseben primer vzporednosti je sovpadanje. Premici sovpadata, če imata vse točke skupne. V tem primeru sta enaki: $p = q$
Sovpadanje razumemo kot skrajno obliko vzporednosti, kjer se premici popolnoma prekrivata.
Ko preučujemo lego premic, vedno delamo v isti ravnini. Z lego premic določamo kote, konstrukcijske povezave in preverjamo pravilnost načrtanih likov.
Pravokotnost in simetrale v ravnini
Pravokotnost in simetrale pogosto uporabljamo pri načrtovanju likov, iskanju presečišč ter konstrukciji višinskih točk in središč krožnic.
🟠 Pravokotne premice
Dve premici sta pravokotni, če se sekata pod kotom $90^\circ$. To označimo s simbolom: $p \perp q$
Pravokotne premice se sekajo tako, da vsi štirje koti v presečišču merijo $90^\circ$. Takšne kote označimo s kvadratkom. Če je daljica pravokotna na drugo daljico ali premico, to pomeni, da oklepata pravi kot.
🟠 Simetrala daljice
Simetrala daljice je premica, ki:
- poteka skozi razpolovišče daljice,
- je pravokotna na daljico,
- vsebuje vse točke, ki so enako oddaljene od krajišč daljice.
Za daljico $AB$ poiščimo simetralo tako, da:
Določimo razpolovišče točke $S$:
$S = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)$
Skozi točko $S$ narišemo premico, ki je pravokotna na $AB$.
Simetrala je uporabna pri konstrukciji trikotniku očrtane krožnice.
🟠 Presečišče in pravokotna lega
Premici imata pravokotno lego, če se sekata pod pravim kotom. Točka presečišča je hkrati vrh vseh štirih pravih kotov. Če daljica ali višina pada na drugo stranico pravokotno, govorimo o pravokotnem padcu.
Pri konstrukciji značilnih točk v likih pogosto poiščemo presečišča simetral, višinskih daljic ali pravokotnic. Tako dobimo središče včrtane krožnice, očrtane krožnice ali višinsko točko trikotnika.
Geometrija v ravnini: vaje z rešitvami
Praksa je ključ do uspeha pri učenju matematike, zato izkoristite vsa dostopna učna gradiva. Srečno reševanje! P. s.: Dodali smo vse rešitve nalog in vaj.
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti, kaj so geometrijski liki, hitro poiščite “inštruktor matematike Maribor” ali “inštrukcije matematike Velenje”. Na meet’n’learn ali v Facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.
